- 文献综述（或调研报告）：
国内外研究现状
变阶分数阶系统的研究是建立在分数阶微积分理论及其微分方程的求解理论基础之上的。近年来，变阶分数阶系统及理论的研究在系统分析领域和控制领域已有不少国内外学者涉及，并有望形成研究热点。但从总体研究形势来看仍处于起步阶段，尤其是有关变阶分数阶最优控制方面所取得的研究成果还比较少。
Sturm-Liouville理论是谱方法和自伴算子理论发展的基石。对于许多应用，Sturm-Liouville问题（SLPs）被当作边值问题来研究。然而，迄今为止，SLPs中大多使用整数阶微分算子，且此类算子不包括任何分数阶微分算子。分数阶微积分是将整数阶微分和积分的概念统一和推广到任何实阶或复阶的理论。
在过去的十年中，人们已经证明，许多科学和工程系统可以通过分数阶而不是整数阶导数来更精确地建模。在最近提出的大多数分数阶Sturm-Liouville公式中，传统Sturm-Liouville问题中的普通导数被分数阶导数所代替，并使用一些数值格式（如Adomian分解法或分数阶微分变换法）来解决所产生的问题，或者使用Haar小波运算矩阵的方法。然而，在这类数值研究中，舍入误差和伪谱的引入使得将无限维边值问题近似为有限维特征值问题时，无法以期望的精度计算多个特征值和特征函数。此外，这些论文没有研究分数阶Sturm-Liouville问题（FSLPs）的一般性质，例如分数阶算子的特征函数的正交性以及特征解的真实性或复杂性。
为FSLPs建立上述基本性质对于建立适当的数值方法非常重要，例如RFSLP的本征解可能很复杂。为此，在[1]，[2]中给出了一些结果，其中通过定义一个经典的Sturm-Liouville算子来考虑问题的分数特征，该算子由包含左右侧分数导数之和的项扩展。最近，在文献[3]中定义了两类正则分数阶Sturm-Liouville问题（RFSLP），证明了该问题的特征值是实的，且对应于不同特征值的特征函数是正交的。然而，特征值的离散性和简单性尚未得到解决。此外，在文献[4]中研究了扩散算子的正则FSLP的谱性质，证明了分数阶扩散算子是自伴的。FSLPs的最新进展为分数阶偏微分方程的谱方法的发展提供了希望，但其特征解还没有得到明确的结果，至今也没有发表数值逼近的结果。
而分数积分和导数的数值计算是理解分数微积分和解决在科学和工程学的许多领域日益增长的FDE问题的关键。重要的是要开发FDE的数值方法，因为分数微分算子的非局部性和复杂性，尤其是对于可变阶FDE，在实际应用中很难获得FDE的精确解。近年来，有限差分方法已被广泛用于逼近分数阶微分算子和具有恒定阶数的FDE。其中一些方法已扩展到可变阶FDE。
当精确解光滑时，谱方法也已应用于FDE。与传统的整数阶微分方程的谱方法一样，在FDE的谱方法中选择合适的近似基函数是非常重要的。当解足够光滑时，可以使用经典的Jacobi多项式（通常是Legendre或Chebyshev多项式）作为近似基函数，并且在某些工作中研究了这些基函数的分数积分和导数的计算。与经典的频谱多项式不同，Zayernouri和Karniadakis在多项式方面获得了新的基函数，这是分数Sturm-Liouville问题的特征函数。当底层的FDE的解不平滑时，可以使用一些加权Jacobi多项式来适应边界处的弱奇异性。
与Galerkin谱方法相比，谱配置方法更灵活地处理复杂的问题，例如变系数的FDE，多项FDE和变阶FDE等。
参考文献
[1] T.M. Atanackovic, B. StankovicGeneralized wave equation in nonlocal elasticity,Acta Mechanica, 208 (1) (2009), pp. 1-10.
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